Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象关干直线x=$\frac{π}{3}$对称，且图象上相邻最高点的距离为π，求f（$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 由图象特点可得函数的周期，可得ω，再由对称性可得2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合题意可得φ值，可得解析式，代值计算可得．

解答 解：∵图象上相邻最高点的距离为π，
∴函数的周期为π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
又函数的图象关干直线x=$\frac{π}{3}$对称，
∴2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
结合-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$可得φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$

点评 本题考查正弦函数的图象和性质，涉及三角函数的对称性和周期性，属基础题．