Question

【题目】设，.

（1）令，求的单调区间；

（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数得，再求函数导数，根据讨论导数是否变号，进而确定单调区间（2）根据讨论单调性，确定极值取法：当时，时，单调递减，时单调递增，在处取得极小值；当时，时单调递减，当时，时，单调递增，时单调递减，在处取得极大值。

试题解析：（Ⅰ）由

可得，

则，

当时，时，，函数单调递增，

当时，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减.

所以当时，函数的单调递增区间为，

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

①当时，单调递增，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以在处取得极小值，不合题意.

②当时，，由（Ⅰ）知在内单调递增，

可得当时，，时，，

所以在(0，1)内单调递减，在内单调递增，

所以在处取得极小值，不合题意.

③当时，即，在(0，1)内单调递增，在内单调递减，

所以当时，，单调递减，不合题意.

④当时，即 当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以在处取得极大值，合题意.

综上可知，实数a的取值范围为.