题目内容
【题目】已知函数f(x)=ax﹣lnx,g(x)=ex﹣ax,其中a为正实数,若f(x)在(1,+∞)上无最小值,且g(x)在(1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围为 .
【答案】[1,e]
【解析】解:∵f(x)=ax﹣lnx,(x>0),
f′(x)=a﹣ =
,
若f(x)在(1,+∞)上无最小值,
则f(x)在(1,+∞)单调,
∴f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,
或f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立,
∴a≥ ,或a≤
,而函数y=
在(1,+∞)上单调减,
∴x=1时,函数y取得最大值1,
∴a≥1或a≤0,而a为正实数,
故a≥1①,
又∵g(x)=ex﹣ax,
∴g′(x)=ex﹣a,
∵函数g(x)=ex﹣ax在区间(1,+∞)上单调递增,
∴函数g′(x)=ex﹣a≥0在区间(1,+∞)上恒成立,
∴a≤[ex]min在区间(1,+∞)上成立.
而ex>e,
∴a≤e②;
综合①②,a∈[1,e],
所以答案是:[1,e].
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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