Question

11．f（x）的定义域为[-1，1]，且对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，当x₁≠x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0．
（1）试判断函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
（2）解不等式f（x-2）＜f（2x）

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义进行判断；
（2）利用函数单调性的定义进行求解即可．

解答 解：（1）∵对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，当x₁≠x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0．
∴若x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，此时f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），此时函数为增函数，
若x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，此时f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），此时函数为增函数，
综上函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数．
（2）∵函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴不等式f（x-2）＜f（2x）等价为$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-2≤1}\\{-1≤2x≤1}\\{x-2＜2x}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{x＞-2}\end{array}\right.$，此时不等式无解，即不等式的解集为∅．

点评 本题抽象函数的应用，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．重点考察函数的单调性的应用．