Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2ax+{a}^{2}\\;x≤0}\\{\frac{1}{x}+x+a\\;x＞0}\end{array}\right.$，若f（x）_min=f（0），则a的取值范围是[0，2]．

Answer 1

分析 若a＜0，函数左段的最小值为f（a），不满足f（x）_min=f（0）；若a≥0，函数左段的最小值为f（0），右段函数的最小值为a+2，根据分段函数的最值为各段最小值中的最小值，可得a≥0，且a²≤a+2，解得a的取值范围．

解答 解：当x＞0时，
f（x）=$\frac{1}{x}+x+a$的图象是由对勾函数的图象向上平移a个单位得到，
当x=1时，f（x）_min=a+2，
当x≤0时，
f（x）=x²-2ax+a²的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
若a＜0，则f（x）_min=f（a）=0，
若a≥0，则f（x）_min=f（0）=a²，
∵x∈R时，f（x）_min=f（0），
则a≥0，且a²≤a+2，
解得：a∈[0，2]，
故a的取值范围是[0，2]，
故答案为：[0，2]

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的最值的意义是解答的关键．