Question

6．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=AB=2，点E是线段AB的中点，点M为线段D₁C上的动点．，
（Ⅰ）当点M是D₁C的中点时，求证直线BM∥平面D₁DE；
（Ⅱ）若点M是靠近C点的四等分点，求直线EM与平面D₁DE所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线BM∥平面D₁DE．
（Ⅱ）求出$\overrightarrow{EM}$和平面D₁DE的法向量，由此利用向量法能求出直线EM与平面D₁DE所成的角的大小．

解答 证明：（Ⅰ）以DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，2，0），E（1，1，0），
C（0，2，0），D₁（0，0，2），（1分）
∵点M是D₁C的中点，∴M（0，1，1），
$\overrightarrow{DE}=（1，1，0），\overrightarrow{D{D_1}}=（0，0，2）$
设平面D₁DE的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2z=0}\end{array}}\right.$$，取x=1，得\overrightarrow n=（1，-1，0）$，（4分）
∵$\overrightarrow{BM}$=（-1，-1，1），∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow n=0$，
∵BM?平面D₁DE，
∴直线BM∥平面D₁DE．（7分）
解：（Ⅱ）∵D₁（0，0，2），C（0，2，0），点M是靠近C点的四等分点，
∴由题有M（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），∴$\overrightarrow{EM}$=（-1，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
∵平面D₁DE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
∴$cos\left?{\overrightarrow{EM}，\overrightarrow n}\right＞=\frac{{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{EM}}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{-1-\frac{1}{2}}}{{\sqrt{2}•\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{n}$＞=150°，（10分）
∴直线EM与平面D₁DE所成的角为60°．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．