Question

14．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C与平面ABCD所成的角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． arctan$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由AA₁⊥底面ABCD，得∠A₁CA是A₁C与平面ABCD所成的角，由此能求出A₁C与平面ABCD所成的角的大小．

解答 解：∵AA₁⊥底面ABCD，
∴∠A₁CA是A₁C与平面ABCD所成的角，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
∴AC=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，${A}_{1}C=\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠A₁AC=$\frac{A{A}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A₁CA=arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴A₁C与平面ABCD所成的角为arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．