Question

15．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，若AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则A到平面PBC的距离是$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 通过AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．

解答 解：∵AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V=$\frac{1}{6}$PA•AB•AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴AB=$\frac{3}{2}$，
作AH⊥PB交PB于H，
由题意可知BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC．
又AH=$\frac{PA•AB}{PB}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
A到平面PBC的距离$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．