Question

18、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．
（1）求证：DP∥平面ANC；
（2）求证：M是PC中点；
（3）求证：平面PBC⊥平面ADMN．

Answer 1

分析：（1）接BD，AC，设BD∩AC=O，连接NO，根据菱形的性质及三角形中位线定理，可得PD∥NO，结合线面平行的判定定理即可得到DP∥平面ANC；
（2）由已知易得AD∥BC，则BC∥平面ADMN，由线面平行的性质定理得BC∥MN，根据平行线等分线段定理，即可得到M是PC中点；
（3）取AD中点E，连接PE，BE，BD，由已知中底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E为AD的中点，可得BE⊥AD，结合PE⊥AD和线面垂直的判定定理得AD⊥面PBE，由线面垂直的性质可得AD⊥PB，又由等腰三角形PAB中，N为PB的中点，得AN⊥PB，由线面垂直的判定定理得：PB⊥平面ADMN，最后由面面垂直的判定定理得到平面PBC⊥平面ADMN．

解答：证明：（1）连接BD，AC，设BD∩AC=O，连接NO…（1分）
∵ABCD是的菱形∴O是BD中点，又N是PB中点
∴PD∥NO…（3分）
又NO?平面ANC，PD?平面ANC…（4分）
∴PD∥平面ANC…（5分）
（2）依题意有AD∥BC∴BC∥平面ADMN…（6分）
而平面PBC∩平面ADMN=MN…（7分）
∴BC∥MN…（9分）
又N是PB中点∴M是PC中点
（3）取AD中点E，连接PE，BE，BD，
∵ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形，又E为AD的中点
∴BE⊥AD…（12分）
又∵PE⊥AD
∴AD⊥面PBE
∴AD⊥PB                                  …（13分）
又∵PA=AB，N为PB的中点
∴AN⊥PB…（14分）
∴PB⊥平面ADMN而PB?平面PBC…（15分）
∴平面PBC⊥平面ADMN…（16分）

点评：本题考查的知识是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，（1）的关键是得到PD∥NO，（2）的关键是得到BC∥MN，（3）的关键是线线、线面、面面垂直之间的转化．