Question

已知命题p：f （x）=

1-x

3

，且|f（a）|＜2；命题q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围，使p、q中有且只有一个为真命题．

Answer 1

分析：先求得命题p中草药范围，再对x²+（a+2）x+1=0判别式△分类讨论，分△＜和△≥0，使A∩B=∅，求出a的范围；然后利用复合命题的真值表，根据“有且仅有一个真”分两类求出a的范围．

解答：解：命题p：|f（x）|＜2，|

1-a

3

|＜2?-5＜a＜7（2分）
命题q：设x²+（a+2）x+1=0判别式为△
当△＜0时，A=∅，此时△=（a+2）²-4＜0，-4＜a＜0
当△≥0时，由A∩B=∅得

△≥0 x1+x2=-(a+2)＜0

?a≥0
∴a＞-4    （6分）
（1）若p真q假

-5＜q＜7 a≤-4

?-5＜a≤-4
（2）若p假q真

a≤-5或a≥7 a＞-4

?a≥7
∴实数a的取值范围为（-5，-4]∪[7，+∞）（12分）

点评：本题考查二次不等式恒成立求参数范围、二次不等式的解法、分类讨论的数学思想方法．解答关键是复合命题的真假判断表．