题目内容
5.过焦点为F的抛物线y2=4x上一点P向其准线作垂线,垂足为Q,若∠QPF=120°,则|PF|=$\frac{4}{3}$.分析 通过设P(m,n)(不妨令m、n均为正数),利用△QPF为等腰三角形及锐角三角函数的定义计算即得结论.
解答 解:由题可知:抛物线y2=4x的焦点为:F(1,0),
抛物线y2=4x的准线方程为:x=-1,
不妨设P(m,n)(m、n均为正数),则4m=n2,
∴|PQ|=1+m,|FQ|=$\sqrt{{2}^{2}+{n}^{2}}$,
由抛物线的定义可知:|PF|=|PQ|=1+m,
∴△QPF为等腰三角形,
又∠QPF=120°,∴$\frac{1}{2}$|FQ|=|PF|sin60°,
即$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}+{n}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(1+m),
化简得:3m2+2m-1=0,
解得:m=$\frac{-2±\sqrt{4+12}}{6}$,即m=$\frac{1}{3}$或0(舍),
∴|PF|=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$,
故答案为:$\frac{4}{3}$.
点评 本题以抛物线为载体,考查求线段长度,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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