题目内容
已知函数f(x)＝
x3＋
ax2＋bx.
(1)若a＝2b，试问函数f(x)能否在x＝－1处取到极值？若有可能，求出实数a，b的值；否则说明理由．
(2)若函数f(x)在区间(－1,2)，(2,3)内各有一个极值点，试求w＝a－4b的取值范围．
x3＋ax2＋bx.(1)若a＝2b，试问函数f(x)能否在x＝－1处取到极值？若有可能，求出实数a，b的值；否则说明理由．
(2)若函数f(x)在区间(－1,2)，(2,3)内各有一个极值点，试求w＝a－4b的取值范围．
(1) 不能，理由见解析 (2) (－29,10)
解：(1)由题意f′(x)＝x2＋ax＋b，
∵a＝2b，∴f′(x)＝x2＋2bx＋b.
若f(x)在x＝－1处取极值，
则f′(－1)＝1－2b＋b＝0，即b＝1，
此时f′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，
函数f(x)为单调递增函数，这与该函数能在x＝－1处取极值矛盾，
故该函数不能在x＝－1处取得极值．
(2)∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在区间(－1,2)，(2,3)内分别有一个极值点，
∴f′(x)＝x2＋ax＋b＝0在(－1,2)，(2,3)内分别有一个实根，
∴
⇒
⇒
画出不等式表示的平面区域，如图所示，
当目标函数w＝a－4b过N(－5,6)时，
对应的w＝－29；
当目标函数w＝a－4b过M(－2，－3)时，
对应的w＝10.
故w＝a－4b的取值范围为(－29,10)．
∵a＝2b，∴f′(x)＝x2＋2bx＋b.
若f(x)在x＝－1处取极值，
则f′(－1)＝1－2b＋b＝0，即b＝1，
此时f′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，
函数f(x)为单调递增函数，这与该函数能在x＝－1处取极值矛盾，
故该函数不能在x＝－1处取得极值．
(2)∵函数f(x)＝
x3＋ax2＋bx在区间(－1,2)，(2,3)内分别有一个极值点，∴f′(x)＝x2＋ax＋b＝0在(－1,2)，(2,3)内分别有一个实根，
∴
⇒⇒
画出不等式表示的平面区域，如图所示，
当目标函数w＝a－4b过N(－5,6)时，
对应的w＝－29；
当目标函数w＝a－4b过M(－2，－3)时，
对应的w＝10.
故w＝a－4b的取值范围为(－29,10)．
练习册系列答案
励耘书业暑假衔接宁波出版社系列答案
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.
时，求曲线
在点
的切线方程；
,
恒成立,求实数
的取值范围；
时，试讨论
在
内的极值点的个数.
．
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；
,求证：当
时，
恒成立；
，证明：
.
.
时，求
的极值；
时，讨论
，
，恒有
成立，求实数
的取值范围.
＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．