题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
是平行四边形,
在平面
上的射影为
,且
在
上,且
,
,
是
的中点,四面体
的体积为
.
(Ⅰ)求异面直线与
所成的角余弦值;
(Ⅱ)求点到平面
的距离;
(Ⅲ)若点是棱
上一点,且
,求
的值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)先利用等体积法求出的长,在平面
内, 过
点作
交
于
,连接
,则
(或其补角)就是异面直线
与
所成的角,在
中利用余弦定理求出此角即可;(Ⅱ)在平面
内,过
作
,交
延长线于
,则
平面
推得
的长就是点
到平面
的距离,在
利用边角关系求出
长; (Ⅲ)在平面
内,过
作
,
为垂足,连接
,先证明
,然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可.
(I)由已知,
∴.
在平面内,过
点作
交
于
,连接
,则
(或其补角)就是异面直线
与
所成的角.
在中,
,
由余弦定理得, ,
∴异面直线与
所成的角的余弦值为
.
(II)∵平面
,
平面
∴平面
平面
,
在平面内,过
作
,交
延长线于
,则
平面
∴
的长就是点
到平面
的距离.
∵.
在,
,∴点
到平面
的距离为
.
(III)在平面内,过
作
,
为垂足,连接
,
又因为,
∴平面
,
平面
,∴
.
由平面平面
,∴
平面
∴
;
由得:
.
∵,∴由
可得
.
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组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第一组 | 10 | 0.1 | |
第二组 | 20 | 0.2 | |
第三组 | 40 | 0.4 | |
第四组 | 25 | 0.25 | |
第五组 | 5 | 0.05 | |
合计 | 100 | 1 |
(1)根据上面的频率分布表,估计该地区用户对产品的满意度评分超过70分的概率;
(2)请由频率分布表中数据计算众数、中位数,平均数,根据样本估计总体的思想,若平均分低于75分,视为不满意.判断该地区用户对产品是否满意?