题目内容
（2013•温州一模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=4x上相异两点，且满足x1+x2=2．
（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线A的方程；
（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．
（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线A的方程；
（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．
分析：方法一：
（I）设直线AB的方程为y=kx+b，与y2=4x联立，利用韦达定理结合x1+x2=2可求得直线AB的方程为y=k（x-1）+
，而AB中点的坐标为（1，
），AB的中垂线经过点P（0，2），可求得AB的斜率，从而可求直线AB的方程；
（Ⅱ）依题意，直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0，利用点到直线间的距离公式可求得点M到直线AB的距离d，联立AB的方程与抛物线方程，结合韦达定理可求得|AB|，于是可得到面积表达式，通过导数法即可求得△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程；
法二：（Ⅰ）设AB的中点为Q（1，t），可求得kAB=
，由（t-2）•
=-1，可求得t继而可得直线AB的方程为y=
x-
；
（Ⅱ）依题意可得直线AB的方程，继而可求点M到直线AB的距离为d=
=
，从而可得面积表达式，利用基本不等式即可求得△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．
（I）设直线AB的方程为y=kx+b，与y2=4x联立，利用韦达定理结合x1+x2=2可求得直线AB的方程为y=k（x-1）+
| 2 |
| k |
| 2 |
| k |
（Ⅱ）依题意，直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0，利用点到直线间的距离公式可求得点M到直线AB的距离d，联立AB的方程与抛物线方程，结合韦达定理可求得|AB|，于是可得到面积表达式，通过导数法即可求得△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程；
法二：（Ⅰ）设AB的中点为Q（1，t），可求得kAB=
| 2 |
| t |
| 2 |
| t |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
（Ⅱ）依题意可得直线AB的方程，继而可求点M到直线AB的距离为d=
| t2+4 | ||
|
| t2+4 |
解答：解：方法一：
（I）当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，
所以设直线AB的方程为y=kx+b，代入方程y2=4x得：k2x2+（2kb-4）x+b2=0
∴x1+x2=
=2，…（2分）
得：b=
-k，
∴直线AB的方程为y=k（x-1）+
，
∵AB中点的横坐标为1，
∴AB中点的坐标为（1，
） …（4分）
∴AB的中垂线方程为y=-
（x-1）+
=-
x+
，
∵AB的中垂线经过点P（0，2），故
=2，得k=
…（6分）
∴直线AB的方程为y=
x-
，…（7分）
（Ⅱ）由（I）可知AB的中垂线方程为y=-
x+
，
∴M点的坐标为（3，0）…（8分）
因为直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0，
∴M到直线AB的距离d=
=
…（10分）
由
得
y2-ky+2-k2=0，
y1+y2=
，y1y2=
，
|AB|=
|y1-y2|=
…（12分）
∴S△AMB=4（1+
）
，设
=t，则0＜t＜1，
S=4t（2-t2）=-4t3+8t，S′=-12t2+8，由S′=0，得t=
，
即k=±
时Smax=
，
此时直线AB的方程为3x±
y-1=0．…（15分）
（本题若运用基本不等式解决，也同样给分）
法二：
（1）根据题意设AB的中点为Q（1，t），则kAB=
=
…（2分）
由P、Q两点得AB中垂线的斜率为k=t-2，…（4分）
由（t-2）•
=-1，得t=
，…（6分）
∴直线AB的方程为y=
x-
，…（7分）
（2）由（1）知直线AB的方程为y-t=
（x-1），…（8分）
AB中垂线方程为y-t=-
（x-1），中垂线交x轴于点M（3，0），
点M到直线AB的距离为d=
=
，…（10分）
由
得：4x2-8x+（t2-2）2=0，
∴|AB|=
|x1-x2|=
，x1+x2=2，x1x2=
∴S=
|AB|•d=
=
≤
=
，
当t2=
时，S有最大值
，此时直线AB方程为3x±
y-1=0…（15分）
（I）当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，
所以设直线AB的方程为y=kx+b，代入方程y2=4x得：k2x2+（2kb-4）x+b2=0
∴x1+x2=
| 4-2kb |
| k2 |
得：b=
| 2 |
| k |
∴直线AB的方程为y=k（x-1）+
| 2 |
| k |
∵AB中点的横坐标为1，
∴AB中点的坐标为（1，
| 2 |
| k |
∴AB的中垂线方程为y=-
| 1 |
| k |
| 2 |
| k |
| 1 |
| k |
| 3 |
| k |
∵AB的中垂线经过点P（0，2），故
| 3 |
| k |
| 3 |
| 2 |
∴直线AB的方程为y=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
（Ⅱ）由（I）可知AB的中垂线方程为y=-
| 1 |
| k |
| 3 |
| k |
∴M点的坐标为（3，0）…（8分）
因为直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0，
∴M到直线AB的距离d=
| |3k2+2-k2| | ||
|
2
| ||
| |k| |
由
|
| k2 |
| 4 |
y1+y2=
| 4 |
| k |
| 8-2k2 |
| k2 |
|AB|=
1+
|
4
| ||||
| k2 |
∴S△AMB=4（1+
| 1 |
| k2 |
1-
|
1-
|
S=4t（2-t2）=-4t3+8t，S′=-12t2+8，由S′=0，得t=
| ||
| 3 |
即k=±
| 3 |
16
| ||
| 9 |
此时直线AB的方程为3x±
| 3 |
（本题若运用基本不等式解决，也同样给分）
法二：
（1）根据题意设AB的中点为Q（1，t），则kAB=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| 2 |
| t |
由P、Q两点得AB中垂线的斜率为k=t-2，…（4分）
由（t-2）•
| 2 |
| t |
| 4 |
| 3 |
∴直线AB的方程为y=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
（2）由（1）知直线AB的方程为y-t=
| 2 |
| t |
AB中垂线方程为y-t=-
| t |
| 2 |
点M到直线AB的距离为d=
| t2+4 | ||
|
| t2+4 |
由
|
∴|AB|=
1+
|
| (t2+4)(4-t2) |
| (t2-2)2 |
| 4 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| (t2+4)2(4-t2) |
| ||
| 4 |
| (t2+4)2(8-2t2) |
| ||
| 4 |
(
|
16
| ||
| 9 |
当t2=
| 4 |
| 3 |
16
| ||
| 9 |
| 3 |
点评：本题考查：直线的一般式方程，考查：直线的一般式方程与直线的垂直关系，突出考查点到直线的距离公式，属于难题．
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