Question

3．△ABC为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB上的高，P为线段OC的中点，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 可分别以CB，CA两直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件容易求出CA=CB=$\sqrt{2}$，从而可确定图形上各点的坐标，从而得出向量$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{OP}$的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可．

解答 解：如图，分别以边CB，CA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系；
根据条件知CA=CB=$\sqrt{2}$；
∴A（0，$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{2}$，0），O（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），P（$\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}$）；
∴$\overrightarrow{AP}=（\frac{\sqrt{2}}{4}，-\frac{3\sqrt{2}}{4}），\overrightarrow{OP}=（-\frac{\sqrt{2}}{4}，-\frac{\sqrt{2}}{4}）$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，建立完坐标系能够求出图形上点的坐标，从而求出向量的坐标，向量数量积的坐标运算．