Question

13．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{4}）sin（\frac{π}{4}-ωx）+sin2ωx+a（ω＞0）$的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列，且f（x）的最大值为1．
（1）x∈[0，π]，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，若函数y=g（x）-m在$[0，\frac{π}{2}]$上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用查三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值以及单调性求得ω和a的值，再根据正弦函数的单调性求得函数在[0，π]上的增区间．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得g（x）的值域，可得m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=2$\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{4}）sin（\frac{π}{4}-ωx）+sin2ωx+a（ω＞0）$=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{2}$）+sin2ωx+a
=$\sqrt{3}$cos2ωx+sin2ωx+a=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+a，
它的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列，故$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1．
再根据f（x）的最大值为2+a=1，故 a=-1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
可得函数在[0，π]上的增区间为[0，$\frac{π}{12}$]、[$\frac{7π}{12}$，π]．
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]-1=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-1的图象，
在$[0，\frac{π}{2}]$上，2x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，故当2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{3π}{2}$时，函数g（x）取得最小值为-2-1=-3；
当2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{3}$时，函数g（x）取得最大值为$\sqrt{3}$-1．
若函数y=g（x）-m在$[0，\frac{π}{2}]$上有零点，求实数m的取值范围为[-3，$\sqrt{3}$-1]．

点评 本题中主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．