题目内容
【题目】如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证:∠ABC=2∠CAF;
(2)若,CE∶EB=1∶4,求CE的长.
【答案】(1)见解析;(2)2。
【解析】试题分析:(1)依据题设条件证明“∠CAF=∠ABD”,即说明BA=BC,再借助等腰三角形的高线即为角平分线进行推证;(2)借助相似三角形的性质,即对应边成比例建立方程进行求解:
解: (1) 证明:连接BD.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABD=90°.
∵AF是⊙O的切线,
∴∠FAB=90°,
∴∠CAF+∠DAB=90°,
∴∠CAF=∠ABD,
∴BA=BC
∴∠ABC=2∠ABD
∴∠ABC=2∠CAF.
(2)解:连接DE,
∵四边形ABED是圆内接四边形,
∴∠ABC=∠CDE,∠CED=∠CAB,
∴△CDE∽△CBA,
∴CD∶CB=CE∶CA
∴CD×CA=CE×CB
∴BA=BC,∠ADB=90°
∴
设CE=x,∵CE:EB=1:4,∴EB=5x,
∴
∴CE=2.
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