Question

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，当n＞2时，有cⁿ＞aⁿ+bⁿ成立，请你类比直角三角形的这个性质，猜想一下空间四面体的性质．

Answer 1

分析 线的关系类比到面的关系，即可得出结论．

解答 解：线的关系类比到面的关系，在空间四面体ABCD中，
猜测：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．理由如下：
如图作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD．
S_△BCD² =$\frac{1}{4}$CD²•BE² =$\frac{1}{4}$CD²（AB²+AE²）
=$\frac{1}{4}$（AC²+AD²）（AB²+AE²）
=$\frac{1}{4}$（AC²AB² +AD²AB² +AC²AE²+AD²AE² ）
=$\frac{1}{4}$（AC²AB² +AD²AB²+CD²AE² ）
=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²

点评 本题考查类比推理，体现了数形结合的数学思想．其中由二维到三维的类比推理要注意点的性质往往推广为线的性质，线的性质往往推广为面的性质．