Question

2010年上海世博会大力倡导绿色出行，并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量．某游客非常支持这一方案，计划在游园期间种植n棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率为p（0＜p＜1），设ξ表示他所种植的树中成活的棵数，ξ的数学期望为Eξ，方差为Dξ．
（1）若n=1，求Dξ的最大值；
（2）已知Eξ=3，标准差?ξ=

3

2

，求n，p的值并写出ξ的分布列．

Answer 1

分析：（1）ξ表示他所种植的树中成活的棵数，当n=1，ξ的可能取值是0，1，写出ξ的分布列，根据分布列做出期望值，代入方差的公式求出方差，根据二次函数的最值求出结果．
（2）根据每棵树是否成活互不影响，成活率为p得到ξ～B（n，p），根据Eξ=np，Dξ=npq=np（1-p），求出P的值，ξ表示他所种植的树中成活的棵数，则变量的可能取值是0，1，2，3，4，根据独立重复试验概率公式写出变量的分布列．

解答：解：（1）由题意知ξ表示他所种植的树中成活的棵数，
当n=1，ξ=0，1，于是ξ的分布列为

∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p．
∴Dξ=（0-p）²•（1-p）+（1-p）²•p=p-p²=-(p-

1

2

)2+

1

4

即当p=

1

2

时，Dξ有最大值

1

4

．
（2）每棵树是否成活互不影响，成活率为p得到ξ～B（n，p），
∴Eξ=np，Dξ=npq=np（1-p），
∴np=3，

np(1-p)

=

3

2

，
∴p=

3

4

，n=4．
∴P(ξ=k)=

C

k 4

(

3

4

)k(1-

3

4

)4-k（k=0，1，2，3，4），
∴ξ的分布列为

点评：本题考查离散型随机变量的分布列，考查n次独立重复试验恰好发生k次的实验，考查二次函数的最值问题，考查利用概率知识解决实际问题，是一个综合题目．