题目内容
【题目】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点P的纵坐标为3,且|PF|=4,过M(m,0)作抛物线C的切线MA(斜率不为0),切点为A.
(1)求抛物线C的方程;
(2)求证:以FA为直径的圆过点M.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(1)由抛物线的定义即可求出p的值,即可得解;
(2)设切线MA的方程为y=k(x﹣m),k≠0,联立方程,可得△=16k2﹣16km=0,即m=k,切点M(2m,m2),由
,即可判定以FA为直径的圆过点M.
(1)
,
抛物线C的方程为:
.
(2)设切点,切线MA的斜率为k,
,
,
,
.
切线MA方程为:
,即
.
切线过
,
,又
,
.
,
,
,
因此,以FA为直径的圆过点M.
法二:设切线MA的方程为:
联立方程:,消去y得:
.
由题意知:.
,
.,∴切点A的坐标为
.
∴.,
.
∴所以FA为直径的圆点过点M.
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