题目内容

(2010•武昌区模拟)已知函数f(x)=-x3+ax2-4(a∈R).若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为
π4

(1)求a;
(2)设f(x)的导函数是f'(x),若m,n∈[-1,1],求f(m)+f'(n)的最小值;
(3)对实数m的值,讨论关于x的方程f(x)=m的解的个数.
分析:(1)根据函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为
π
4
,利用函数在某点的导数值等于函数图象在该点的切线的斜率,即可求得.
(2)分别计算f(m),f'(n)的最小值.利用导数在某个区间上的符号,确定函数单调性,进而确定函数最值.
(3)先求得f(0)=-4,f(
4
3
)=-
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.画出函数y=f(x)草图,根据y=f(x)与y=m的交点个数,可确定方程f(x)=m的解的个数.
解答:解:(1)f'(x)=-3x2+2ax.…(1分)
据题意,f′(1)=tan
π
4
=1

∴-3+2a=1,即a=2…(3分)
(2)由(1)知f(x)=-x3+2x2-4,f'(x)=-3x2+4x.
x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
f'(x) -7 - 0 - 1
f(x) -1 -4 -3
∴对于m∈[-1,1],f(m)的最小值为f(0)=-4.…(6分)
∵f'(x)=-3x2-4x的对称轴为x=
2
3
,且抛物线开口向下,
∴x∈[-1,1]时,f'(x)最小值为f'(-1)与f'(1)中较小的
∵f'(1)=1,f'(-1)=-7
∴当x∈[-1,1]时,在f'(x)的最小值为-7…(7分)
∴当x∈[-1,1]时,在f'(n)的最小值为-7…(8分)
∴f(m)+f'(n)的最小值为-11
(3)求得f(0)=-4,f(
4
3
)=-
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.…(10分)
依题意可画出函数y=f(x)草图,得
m>-
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或m<-4时,方程有一解;
m=-
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或m=-4时,方程有两解;
-4<m<-
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时,方程有三解;
点评:本题以函数为载体,考查导数的几何意义,考查利用导数解决函数的最值问题,同时考查了数形结合的数学思想,解题的关键是正确利用导数工具.
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