题目内容

【题目】已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (Ⅰ)求a,b,c,d的值;
(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)由题意知f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4, 而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4,
从而a=4,b=2,c=2,d=2;
(Ⅱ)由(I)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1)
设F(x)=kg(x)﹣f(x)=2kex(x+1)﹣x2﹣4x﹣2,
则F′(x)=2kex(x+2)﹣2x﹣4=2(x+2)(kex﹣1),
由题设得F(0)≥0,即k≥1,
令F′(x)=0,得x1=﹣lnk,x2=﹣2,
①若1≤k<e2 , 则﹣2<x1≤0,从而当x∈(﹣2,x1)时,F′(x)<0,当x∈(x1 , +∞)时,F′(x)>0,
即F(x)在(﹣2,x1)上减,在(x1 , +∞)上是增,故F(x)在[﹣2,+∞)上的最小值为F(x1),
而F(x1)=﹣x1(x1+2)≥0,x≥﹣2时F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
②若k=e2 , 则F′(x)=2e2(x+2)(ex﹣e2),从而当x∈(﹣2,+∞)时,F′(x)>0,
即F(x)在(﹣2,+∞)上是增,而F(﹣2)=0,故当x≥﹣2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
③若k>e2时,F′(x)>2e2(x+2)(ex﹣e2),
而F(﹣2)=﹣2ke2+2<0,所以当x>﹣2时,f(x)≤kg(x)不恒成立,
综上,k的取值范围是[1,e2]
【解析】(Ⅰ)对f(x),g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),从而解出a,b,c,d的值;(Ⅱ)由(I)得出f(x),g(x)的解析式,再求出F(x)及它的导函数,通过对k的讨论,判断出F(x)的最值,从而判断出f(x)≤kg(x)恒成立,从而求出k的范围.

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