题目内容
【题目】如图所示，曲线
由部分椭圆
：
和部分抛物线
：
连接而成，与的公共点为
，
，其中所在椭圆的离心率为
.
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）过点的直线
与，分别交于点
，
（，，，中任意两点均不重合），若
，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）在抛物线方程中，令
，求出
，
坐标，再由离心率的公式和
之间的关系，求出
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出横轴上方的椭圆方程，由题意可知：过点的直线
存在斜率且不能为零，故设直线方程为
，代入椭圆
、抛物线
方程中，求出
，
两点坐标，由向量垂直条件，可得等式，求出
的值，进而求出直线的方程.
（Ⅰ）因为
，所以，即
，因此
，代入椭圆方程中，得
，由
以及 
，可得
，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出横轴上方的椭圆方程为：
，由题意可知：过点的直线存在斜率且不能为零，故设直线方程为，代入椭圆得：
，故可得点的坐标为：
，显然
，同理将代入抛物线方程中，得
，故可求得的坐标为：
，
，
，解得
，符合，故直线的方程为：.
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