题目内容
【题目】已知椭圆
：
的短轴端点为
，
，点
是椭圆上的动点，且不与，重合，点
满足
，
.
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）求四边形
面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）设
，
，结合垂直关系设出两直线的方程，相乘即可得到动点
的轨迹方程；
（Ⅱ）利用根与系数的关系表示四边形
面积，转求函数最值即可.
（Ⅰ）法一：设，，
直线
直线
得
又
，
，
整理得点的轨迹方程为
法二：设，，
直线
直线
由,解得：
，又
，
故
，代入得
.
点的轨迹方程为
法三：设直线
，则直线
直线
与椭圆
的交点
的坐标为
.
则直线
的斜率为
.
直线
由 解得:点的轨迹方程为：
（Ⅱ）法一：设
，由（Ⅰ）法二得：
四边形的面积
，
，当
时，
的最大值为.
法二：由（Ⅰ）法三得：四边形的面积
当且仅当
时，取得最大值.
【题目】社区服务是高中学生社会实践活动的一个重要内容，汉中某中学随机抽取了100名男生、100名女生，了解他们一年参加社区服务的时间，按
，
，
，
，
（单位：小时）进行统计，得出男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图.
（1）完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图.
抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表
社区服务时间 | 人数 | 频率 |
| 0.05 | |
| 20 | |
| 0.35 | |
| 30 | |
| ||
合计 | 100 | 1 |
学生社区服务时间合格与性别的列联表
不合格的人数 | 合格的人数 | |
男 | ||
女 |
（2）按高中综合素质评价的要求，高中学生每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格，根据上面的统计图表，完成抽取的这200名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有
以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关，并说明理由.
（3）用以上这200名学生参加社区服务的时间估计全市9万名高中学生参加社区服务时间的情况，并以频率作为概率.
（i）求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数.
（ⅱ）对我市高中生参加社区服务的情况进行评价.
参考公式
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.002 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（
，其
）
