Question

12．已知函数f（x）满足f（x-2）•f（x）=-3，x∈[-1，1]时，f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$+${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{t}^{2}}$dt，则f（2014）=-1+$\frac{1}{2}$π．

Answer 1

分析 由f（x+2）=-f（x），得到函数的周期为4，利用函数的周期性将条件进行转化即可得到结论

解答 解：∵${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{t}^{2}}$dt表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，
∴${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{t}^{2}}$dt=$\frac{1}{2}$π，
∴f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$+${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{t}^{2}}$dt=$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$π，
∵f（x-2）•f（x）=-3，
∴f（x-2）=$\frac{-3}{f（x）}$，
∴f（x-4）=$\frac{-3}{f（x-2）}$=f（x），
∴函数是以4为周期的周期函数，
∴f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=-f（0）=-1+$\frac{1}{2}$π，
故答案为：-1+$\frac{1}{2}$π，

点评 本题主要考查函数值的计算定积分的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．