题目内容

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任意一点到两个焦点的距离之和为4，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的右焦点为F，是否存在直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，满足两个条件：①线段AB的中点P在直线x+2y=0上；②△FAB的面积有最大值．如果存在，请求出面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

分析 （1）通过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任意一点到两个焦点的距离之和为4，即得a=2，再利用离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$及a2-b2=c2，计算可得椭圆C的方程；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，直线l：y=kx+m与椭圆联立，利用线段AB中点在直线x+2y=0上求得k的值，求出|AB|，及点F（$\sqrt{2}$，0）到直线AB的距离d=$\frac{|\sqrt{2}+m|}{\sqrt{2}}$，表示出三角形的面积，利用求导数的方法，即可确定△FAB的面积的最大值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任意一点到两个焦点的距离之和为4，
∴2a=4，即a=2，
∵离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵a2-b2=c2，∴a2=4，b2=2，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）结论：存在满足条件的直线l：y=x+$\sqrt{2}$，S△FAB最大为$\frac{8}{3}$．
理由如下：
由（1）知F（$\sqrt{2}$，0），分两种情况讨论：
①当直线l的斜率不存在时，此时方程为：x=t，
又∵线段AB的中点P在直线x+2y=0上，
∴直线l：x=0，此时A（0，$\sqrt{2}$），B（0，$-\sqrt{2}$），
此时S△FAB=$\frac{1}{2}×|AB|×|OF|$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
联立直线l与椭圆方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，
△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（6-m2）＞0，∴$|m|＜\sqrt{6}$，
由韦达定理，得x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$，y0=kx0+m=$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$，
∵线段AB的中点P在直线x+2y=0上，∴k=1，
∴|AB|=$\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{2}×\sqrt{6-{m}^{2}}}{3}$=$\frac{4\sqrt{6-{m}^{2}}}{3}$，
又∵点F（$\sqrt{2}$，0）到直线AB的距离d=$\frac{|\sqrt{2}+m|}{\sqrt{2}}$，
∴S△FAB=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{6-{m}^{2}}}{3}×$$\frac{|\sqrt{2}+m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}|\sqrt{2}+m|\sqrt{6-{m}^{2}}$ （$|m|＜\sqrt{6}$，m≠0），
设u（m）=$（6-{m}^{2}）（m+\sqrt{2}）^{2}$  （$|m|＜\sqrt{6}$，m≠0），
则令u′（m）=0，可得m=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或m=-$\sqrt{2}$或m=$\sqrt{2}$，
（①）当-$\sqrt{6}$＜m＜-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，u′（m）＞0；
（②）当-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜m＜-$\sqrt{2}$时，u′（m）＜0；
（③）当-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$时，u′（m）＞0；
（④）当$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{6}$时，u′（m）＜0；
又u（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{3}{4}$，u（$\sqrt{2}$）=32，∴当m=$\sqrt{2}$时，S△FAB最大为$\frac{8}{3}$；
综上所述，存在满足条件的直线l：y=x+$\sqrt{2}$，S△FAB最大为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，点到直线的距离公式，三角形面积计算公式，函数的单调性，考查分类讨论的思想，属于难题．

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