Question

【题目】已知函数f（x）=a（x-lnx）（a∈R）．

（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＜+x-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（-∞，1）

【解析】

（Ⅰ）先求导，根据a的不同取值范围进行分类讨论，求出单调性；

（Ⅱ）不等式恒成立问题转化为函数值不大于零的问题。对函数求导，然后分类讨论，确定实数a的取值范围。

解：（I）f′（x）=a（1-）=，（x＞0）．

当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

当a＜0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．

当a=0时，函数f（x）=0（x＞0），不具有单调性．

（Ⅱ）对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＜+x-1恒成立a（x-lnx）--x+1≤0，（*）

令g（x）=a（x-lnx）--x+1，（x＞0）．

g′（x）=a（1-）+-1=，

当a≤1时，∵x＞0，∴（a-1）x-1＜0，h′（x）＞00＜x＜1；h′（x）＜0x＞1．

∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．

∴h（x）≤h（1）=a-1，要使不等式（*）恒成立，则a-1＜0，即a＜1．

当a＞1时，h（1）=a-1＞0，不等式（*）不恒成立．

故实数a的取值范围是（-∞，1）．