Question

【题目】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝4，求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）通过证明BD⊥AC和BD⊥PA，可证得结论；

（2）以BD与AC的交点O为坐标原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别计算平面PBC的一个法向量为n1，平面PDC的一个法向量为n2，利用向量夹角公式可得解.

(1)证明：因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.

又PA⊥平面ABCD，

所以BD⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.

(2)以BD与AC的交点O为坐标原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由已知可得，AO＝OC＝，OD＝OB＝1，

所以P(0，－，4)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)，

(0，2，－4)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，0)．

设平面PBC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

由可得令x1＝，可得n1＝.

同理，由可得n2＝，

所以cos〈n1，n2〉＝＝－，所以平面PBC与平面PDC所成角的余弦值为.