题目内容
【题目】已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)若对于任意的恒成立,求满足条件的实数m的最小值M .
(3)对于(2)中的M,正数a,b满足,证明:
.
【答案】(1) 当时,
为偶函数, 当
时,既不是奇函数也不是偶函数,理由见解析;(2)2;(3) 证明见解析.
【解析】
(1)对分类讨论,结合奇偶性的定义进行判断可得;
(2)将不等式转化为对任意的
都成立,再构造函数,利用单调性求出最大值即可得到答案;
(3)由(2)知,所以
,再根据
变形可证.
(1)(i)当m=1时,,
,
因为,
所以为偶函数;
(ii)当时,
,
,
,
,
所以既不是奇函数也不是偶函数.
(2) 对于任意的,即
恒成立,
所以对任意的
都成立,
设,
则为
上的递减函数,
所以时,
取得最大值1,
所以,即
.
所以.
(3)证明: 由(2)知,
,所以
,
,
,当且仅当
时取等号,①
又
,当且仅当
时取等号,②
由①②得,,
所以,
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