题目内容

19.在三角形ABC中,点D是线段BC中点,点F在线段CD上,设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$,z=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$,若$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$,求z最小值.

分析 由$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$,B,F,C三点共线,可得x+y=1.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.

解答 解:∵$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$,B,F,C三点共线,
∴x+y=1.
∴z=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=(x+y)$(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})$=5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=9,当且仅当y=2x=$\frac{2}{3}$时取等号.
∴z的最小值为9.

点评 本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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