Question

12．已知$\frac{1}{3}$≤k＜1，函数f（x）=|2^x-1|-k的零点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），函数g（x）=|2^x-1|-$\frac{k}{2k+1}$的零点分别为x₃，x₄（x₃＜x₄），则（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值是log₂3．

Answer 1

分析 先表示出2${\;}^{{x}_{1}}$和2${\;}^{{x}_{2}}$，2${\;}^{{x}_{3}}$和2${\;}^{{x}_{4}}$，再表示出2${\;}^{{x}_{2}}$${\;}^{-{x}_{1}}$，2${\;}^{{x}_{4}-{x}_{3}}$，从而表示出2${\;}^{（{x}_{4}-{x}_{3}）+（{x}_{2}-{x}_{1}）}$，求出其范围，从而求出（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的范围，
进而求出（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值

解答 解：∵x₁＜x₂，
∴2${\;}^{{x}_{1}}$=1-k，2${\;}^{{x}_{2}}$=1+k
又∵x₃＜x₄，
∴2${\;}^{{x}_{3}}$=1$-\frac{k}{2k+1}$，2${\;}^{{x}_{4}}$=1$+\frac{k}{2k+1}$，
∴2${\;}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1+k}{1-k}$，2${\;}^{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{3k+1}{k+1}$；
∴2${\;}^{{（x}_{4}-{x}_{3}）+（{x}_{2}-{x}_{1}）}$=$\frac{3k+1}{1-k}$；
又k∈[$\frac{1}{3}$，1），
∴-3+$\frac{4}{1-k}$最小值为3，
∴x₄-x₃+x₂-x₁∈[log₂3，+∞），

点评 本题考察了函数的零点，方程的根的关系，求函数的值域问题以及指数函数的运算，是一道综合题．