Question

4．抛物线y=x²上的点到直线y=2x-6的最短距离为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设P（x，x²）为抛物线上的任意一点，利用点到直线的距离公式可得：点P到直线y=2x-6的距离d=$\frac{|2x-{x}^{2}-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|（x-1）^{2}+5|}{\sqrt{5}}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设P（x，x²）为抛物线上的任意一点，
则点P到直线y=2x-6的距离d=$\frac{|2x-{x}^{2}-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|（x-1）^{2}+5|}{\sqrt{5}}$$≥\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，当x=1时取等号，即取P（1，1）．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．