题目内容
【题目】如图（1）所示，在直角梯形
中，
，
，
，
，
是
的中点，
是
与
的交点．将△
沿
折起到△
的位置，如图（2）所示．
（1）证明：
平面
；
（2）若平面
平面
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）由图（1）可得
，由图（2）可得
平面
，根据线面垂直的性质可得
平面
；（2）由平面
平面
可得
为二面角
的平面角，所以
，因此以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，分别求出平面
与平面
的法向量，根据向量的夹角公式求解.
试题解析：（1）证明：在图（1）中，因为
，
，
是
的中点，
，所以
，，
在图（2）中，
，
，
又
，
平面
，
平面
，
从而平面，
又
，
所以平面．
（2）由已知，平面平面，
又由（1）知，
，
，
所以为二面角的平面角，
所以，
如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为
，
，
所以
，
，
，
，
得
，
，
．
设平面
的法向量
，平面
的法向量
，平面
与平面
的夹角为
，
则
得
取
；
得
取
；
从而
，
即平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为．
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