Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，点，，分别为棱，，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为？如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）点存在，即的中点，．

【解析】

（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量为，得，进而证出结论；

（2）求出平面的法向量为，平面法向量，得，进而得出结论；

（3）设，利用直线与平面所成的角为，结合向量夹角公式列出关于的方程解出即可.

（1）在直三棱柱中，平面，又因为，

以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．

由题意得，，，，，．

所以，，设平面的法向量为，则

，即，令，得，，于是．

又因为，所以．又因为平面，

所以平面．

（2）设平面的法向量为，，，

，即，令，得，，于是，

平面法向量，．

所以二面角的大小为．

（3）．设直线与平面所成角为，则，设，则，，

所以，解得或（舍），

所以点存在，即的中点，．