Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x₀处取得极小值-2，使其导函数f′（x）＜0的范围为（-1，1）
（Ⅰ）求x₀的值及f（x）的解析式
（Ⅱ） 设点A为函数f（x）图象上极大值对应的点，曲线f（x）在点A处的切线l₁交f（x）的图象于另一点B，且曲线f（x）在点B处的切线l₂，在原点O处的切线为l，直线l₁，l₂分别与直线l交于M，N，求证：

NO

=2

OM

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）由f′（x）=3ax²+2bx+c＜0的解集为（-1，1），可得f′（x）=3a（x+1）（x-1），且a＞0．判断出f′（-1）=0，f′（1）=0，f（1）=-2，解出即可．
（II）由（I）可得A（-1，2），利用导数研究函数的切线方程即可得出：直线l₁，l₂与直线l的方程，进而证明．

解答： （I）解：∵f′（x）=3ax²+2bx+c＜0的解集为（-1，1），
∴f′（x）=3a（x+1）（x-1），且a＞0．
∵x∈（-∞，-1]时，f′（x）＞0；
x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在x₀=1处取得极小值-2，在x=-1处取得极大值．
由f′（-1）=0，f′（1）=0，f（1）=-2，
解得：a=1，b=0，c=-3，
∴x₀=1，f（x）=x³-3x．
（Ⅱ）证明：∴x=-1时，f（x）有极大值2，
A（-1，2），曲线y=f（x）在点A处的切线的斜率k₁=0．直线l₁的方程为y=2．
曲线y=f（x）在点B（2，2）处的切线的斜率k2=3×22-3=9，
直线l₂的方程为y-2=9（x-2）．
又曲线y=f（x）在点O处的切线的斜率k=3×0²-3=-3．
直线l的方程为y=-3x．
联立直线l₁的方程与直线l的方程，

y=2 y=-3x

，解得

x=- 2 3 y=2

，
∴M(-

2

3

，2)．
联立直线l₂的方程与直线l的方程，

y-2=9(x-2) y=-3x

，解得

x= 4 3 y=-4

，
∴N(

4

3

，-4).

NO

=(-

4

3

，4).

OM

=(-

2

3

，2)，
∴

NO

=2

OM

．

点评：本题考查了利用导数研究函数单调性极值、切线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．