题目内容
3.不等式$\frac{{3{x^2}+2x+2}}{{{x^2}+x+1}}≥k$,对任意实数x都成立,满足条件自然数k最大值为a,若已知mn>0,m≠n,试比较log${\;}_{\frac{1}{a}}$(3m2+4mn+n2)与log${\;}_{\frac{1}{a}}$(2m2+6mn)的大小.分析 不等式$\frac{{3{x^2}+2x+2}}{{{x^2}+x+1}}≥k$,对任意实数x都成立,等价于(k-3)x2+(k-2)x+k-2≤0对于任意的实数x均成立,分类讨论,利用根的判别式即可求得k的取值范围,继而求出a的值,在作差比较真数的大小,根据对数函数的单调性质即可比较.
解答 解:不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}$≥k对于任意的实数x均成立,等价于(k-3)x2+(k-2)x+k-2≤0对于任意的实数x均成立.
当k=3时,x+1≤0,∴x≤-1,不满足题意;
当k≠3时,$\left\{\begin{array}{l}{k-3<0}\\{(m-2)^{2}-4(k-3)(k-2)<0}\end{array}\right.$,
解得k<3,
∵满足条件自然数k最大值为a,
∴a=3,
∵mn>0,m≠n
∴3m2+4mn+n2-2m2-6mn=m2-2mn+n2=(m-n)2>0,
∴3m2+4mn+n2>2m2+6mn,
∵对数函数y=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$为减函数,
∴log${\;}_{\frac{1}{a}}$(3m2+4mn+n2)<log${\;}_{\frac{1}{a}}$(2m2+6mn).
点评 本题考查二次函数在R中的恒成立问题,可以通过判别式法予以解决,也可以分离参数k,分类讨论解决,以及对数函数的性质,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
8.函数y=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+5|-5}$是( )
A. | 奇函数不是偶函数 | B. | 偶函数不是奇函数 | ||
C. | 既是奇函数又是偶函数 | D. | 非奇非偶函数 |
15.如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A. | $\frac{3}{10}$ | B. | $\frac{7}{10}$ | C. | $\frac{3}{5}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |
12.已知复数z的实部为1,虚部为-2,则$\frac{5i}{z}$=( )
A. | 2-i | B. | 2+i | C. | -2-i | D. | -2+i |