Question

已知椭圆

x2

16

+

y2

4

=1，求以点P（2，-1）为中点的弦AB所在的直线方程．

Answer 1

分析：先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出x₁+x₂，进而求得弦所在的直线的斜率，进而利用点斜式求得该直线的方程．

解答：解：设弦AB所在的直线方程为y-（-1）=k（x-2），即y=kx-2k-1．
由

y=kx-2k-1 x2 16 + y2 4 =1

，消去y得x²+4（kx-2k-1）²-16=0，
整理得（1+4k²）x²-8k（2k+1）x+4（2k+1）²-16=0（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以有x1+x2=

8k(2k+1)

1+4k2

．
因为P（2，-1）为弦AB中点，
所以x1+x2=4，即

8k(2k+1)

1+4k2

=4，解得k=

1

2

．
代入方程（1），验证△＞0，合题意．
所以弦AB所在直线的方程为y=

1

2

x-2，即x-2y-4=0．

点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的．