题目内容
【题目】已知平面上动点到点的距离与到直线的距离之比为,记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设是曲线上的动点,直线的方程为.
①设直线与圆交于不同两点, ,求的取值范围;
②求与动直线恒相切的定椭圆的方程;并探究:若是曲线: 上的动点,是否存在直线: 恒相切的定曲线?若存在,直接写出曲线的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】分析:(1)设设,根据动点到点的距离与到直线的距离之比为,建立方程,即可求得曲线的方程;(2)①先求出圆心到直线的距离,结合勾股定理可表示出,再根据及,即可求得的取值范围,从而可得的取值范围;②取, ,直线的方程为,取, 时,直线的方程为,根据椭圆对称性,猜想的方程为与直线相切,由此联立方程组,转化为恒成立,即可推出存在,若是曲线: 上的动点,结合以上结论可得与直线相切的定曲线的方程为.
详解:(1)设,由题意,得.
整理,得,所以曲线的方程为.
(2)①圆心到直线的距离
∵直线于圆有两个不同交点,
∴
又∵
∴
由,得.
又∵
∴
∴
因此, ,即的取值范围为.
②当, 时,直线的方程为;当, 时,直线的方程为,根据椭圆对称性,猜想的方程为.
下证:直线与相切,其中,即.
由消去得: ,即.
∴恒成立,从而直线与椭圆: 恒相切.
若点是曲线: 上的动点,则直线: 与定曲线: 恒相切.
【题目】为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表:
场数 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
人数 | 10 | 18 | 22 | 25 | 20 | 5 |
将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”,已知“歌迷”中有10名女性.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关?
非歌迷 | 歌迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(2)将收看该节目所有场次(14场)的观众称为“超级歌迷”,已知“超级歌迷”中有2名女性,若从“超级歌迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
附:K2=.
【题目】某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:
文艺节目 | 新闻节目 | 总计 | |
20至40岁 | 42 | 16 | 58 |
大于40岁 | 18 | 24 | 42 |
总计 | 60 | 40 | 100 |
(1)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名观众,则大于40岁的观众应该抽取几名?
(2)由表中数据分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?
(3)在第(1)中抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.
(提示:,其中.当时,有的把握判定两个变量有关联;当时,有的把握判定两个变量有关联;当时,有的把握判定两个变量有关联.)