题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为梯形,
,
,
,
.
(1)当时,试在棱
上确定一个点
,使得
平面
,并求出此时
的值;
(2)当时,若平面
平面
,求此时棱
的长.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)当时,连接
,
交于点
,由平行可以证得
,结合线面平行的判定定理在棱
上确定一个点
(2)取上一点
得
,连接
,构造四边形
为正方形,作
平面
,由
证得等边三角形继而得点
为正方形
对角线的交点,建立空间坐标系,求出两个面的法向量,计算出结果
(1)在棱上取点
,使得
,
连接,
交于点
,
因为,所以
,所以
,
所以,
因为平面
,
平面
,
所以平面
;
(2)取上一点
得
,连接
,则
为正方形.
过作
平面
,垂足为
.连接
,
,
,
,
,,
所以和
都是等边三角形,
因此,
所以,
即点为正方形
对角线的交点,
以为坐标原点,
分别以,
,
的方向为
轴,
轴,
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
,
,
由于棱的长为
,则
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,
则,取
,
同理平面的法向量
,
由,解得
,
即的长为
.
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