Question

【题目】已知两圆的圆心分别为，P为一个动点，且直线的斜率之积为.

（Ⅰ）求动点P的轨迹M的方程；

（Ⅱ）是否存在过点A(2，0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）＋y2＝1(x≠0)（2）不存在

【解析】

(1)两圆的圆心坐标分别为C1(0，1)，和C2(0，－1)，

设动点P的坐标为(x，y)，则直线PC1，PC2的斜率分别为(x≠0)和(x≠0)．

由已知条件得＝－(x≠0)，即＋y2＝1(x≠0)．

所以动点P的轨迹M的方程为＋y2＝1(x≠0)．

(2)假设存在满足条件的直线l，易知点A(2，0)在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，此时不符合题意，所以直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)．

联立方程组得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，①

依题意Δ＝－8(2k2－1)>0，解得－<k<.

当－<k<时，设交点分别为C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点为N(x0，y0)，

则x1＋x2＝，则x0＝＝，

所以y0＝k(x0－2)＝k＝.

要使|C1C|＝|C1D|，必须C1N⊥l，即k·kC1N＝－1，

所以k·＝－1，即k2－k＋＝0，

因为Δ1＝1－4×＝－1<0，∴k2－k＋＝0无解，

所以不存在直线，使得|C1C|＝|C1D|，

综上所述，不存在直线l，使得|C1C|＝|C1D|.