Question

【题目】命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，命题q：已知二次函数f（x）=x2﹣mx+2满足 ，且当x∈[0，a]时，最大值是2，若命题“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：对于命题p：∵关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，
∴△=﹣3a2﹣2a+1≤0，解得 ，
由已知得二次函数f（x）=x2﹣mx+2的对称轴为 ，
即 ，∴m=3，f（x）=x2﹣3x+2，
当x∈[0，a]时，最大值是2，由对称性知q：0＜a≤3．
由命题“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假．
当p真q假时， ，∴a≤﹣1或a＞3，
当p假q真时， ，∴ ，
综上可得，
【解析】对于命题p：由关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，可得△≤0，解得p的取值范围．由已知得二次函数f（x）=x2﹣mx+2的对称轴为 ，可得m，可得f（x）=x2﹣3x+2，当x∈[0，a]时，最大值是2，由对称性知a的取值范围．由命题“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假．
【考点精析】认真审题，首先需要了解复合命题的真假(“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真)．