题目内容
【题目】命题p:关于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2<0的解集是空集,命题q:已知二次函数f(x)=x2﹣mx+2满足 ,且当x∈[0,a]时,最大值是2,若命题“p且q”为假,“p或q”为真,求实数a的取值范围.
【答案】解:对于命题p:∵关于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2<0的解集是空集,
∴△=﹣3a2﹣2a+1≤0,解得 ,
由已知得二次函数f(x)=x2﹣mx+2的对称轴为 ,
即 ,∴m=3,f(x)=x2﹣3x+2,
当x∈[0,a]时,最大值是2,由对称性知q:0<a≤3.
由命题“p且q”为假,“p或q”为真,可知:p,q恰一真一假.
当p真q假时, ,∴a≤﹣1或a>3,
当p假q真时, ,∴
,
综上可得,
【解析】对于命题p:由关于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2<0的解集是空集,可得△≤0,解得p的取值范围.由已知得二次函数f(x)=x2﹣mx+2的对称轴为 ,可得m,可得f(x)=x2﹣3x+2,当x∈[0,a]时,最大值是2,由对称性知a的取值范围.由命题“p且q”为假,“p或q”为真,可知:p,q恰一真一假.
【考点精析】认真审题,首先需要了解复合命题的真假(“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真).
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【题目】如图,椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,其左焦点到点
的距离为
.不过原点O的直线
与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求ABP的面积取最大时直线l的方程.
【题目】某投资公司现提供两种一年期投资理财方案,一年后投资盈亏的情况如下表:
投资股市 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 | 购买基金 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 | |
概率 |
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| 概率 |
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(Ⅰ)甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“买基金”,若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于,求
的取值范围;
(Ⅱ)若,某人现有
万元资金,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择出一种,那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大.