题目内容

已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0成立,若a=(30.3)•f(30.3),b=(logπ3)•f(logπ3),c=(log3
1
9
)•f(log3
1
9
),则a,b,c的从大到小排列是
c>a>b
c>a>b
分析:由y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,得到f(x)关于原点对称,即函数f(x)为奇函数,然后构造函数g(x)=xf(x),利用导数判断函数g(x)的单调性,然后比较大小即可.
解答:解:∵函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,
∴f(x)关于原点对称,即函数f(x)为奇函数.
设g(x)=xf(x),则g(x)为偶函数,
∴当x∈(-∞,0)时,
g'(x)=f(x)+xf′(x)<0,此时函数单调递减,
即x∈(0,+∞)时,函数g(x)单调递增.
则a=g(30.3)=(30.3)•f(30.3),
b=g(logπ3)=(logπ3)•f(logπ3),
c=g(log3
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)=(log3
1
9
)•f(log3
1
9
),
∵30.3>1,0<logπ3<1,log3
1
9
=-2,
∴g(log3
1
9
)=g(-2)=g(2),
∵2>30.3>logπ3,
∴g(2)>g(30.3)>g(logπ3),
即c>a>b.
故答案为:c>a>b.
点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,以及利用导数研究函数的单调性问题,利用条件构造函数是解决本题的关键,综合性较强.
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