Question

13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，图象过点P（0，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=g（x）的图象是由函数y=f（x）的图象上所有的点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度而得到，且g（x）在区间（0，m）内是单调函数，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由周期求得ω，根据特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得实数m的范围．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=4．
再把点P（0，1）代入可得sinφ=1，结合0＜φ＜π可得φ=$\frac{π}{2}$，∴f（x）=sin（4x+$\frac{π}{2}$）=cos4x．
（2）由题意可得，g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=cos（4x+$\frac{2π}{3}$），由x∈（0，m），可得4x+$\frac{2π}{3}$∈（$\frac{2π}{3}$，4m+$\frac{2π}{3}$）．
再根据g（x）在区间（0，m）内是单调函数，可得4m+$\frac{2π}{3}$≤π，求得m≤$\frac{π}{12}$，故m的最大值为$\frac{π}{12}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．