题目内容
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数).
(Ⅰ)若,求直线
被曲线
截得的线段的长度;
(Ⅱ)若,在曲线
上求一点
,使得点
到直线
的距离最小,并求出最小距离.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
试题(Ⅰ)由题意,得曲线的普通方程和直线
的普通方程,联立方程组,解焦点,即可求解截曲线
的线段长;
(Ⅱ)解法一:时,得直线
的普通方程,由点到直线的距离公式,得到距离的表达式,转化为三角函数的性质,即可求解最小值.
试题解析:
(Ⅰ)曲线的普通方程为
.
当时,直线
的普通方程为
.
由.解得
或
,
直线被曲线
截得的线段的长度为
.
(Ⅱ)解法一:时,直线
的普通方程为
.
由点到直线的距离公式,椭圆上的点
到直线
:
的距离为
,
其中满足
,
.
由三角函数性质知,当时,
取最小值
.
此时,,
.
因此,当点位于
时,点
到
的距离取最小值
.
解法二:当时,直线
的普通方程为
.
设与平行,且与椭圆
相切的直线
的方程为
.
由消去
并整理得
.
由判别式,解得
.
所以,直线的方程为
,或
.
要使两平行直线与
间的距离最小,则直线
的方程为
.
这时,与
间的距离
.
此时点的坐标为方程组
的解
.
因此,当点位于
时,点
到直线
的距离取最小值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量y(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求回归直线方程=bx+a;(其中
,
,
,
,
);
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
【题目】交通安全法有规定:机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过马路,应当避让.我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”,不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”.下表是六安市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
“不礼让斑马线”的驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 85 | 90 |
(1)根据表中所给的5个月的数据,可用线性回归模型拟合与
的关系,请用相关系数加以说明;
(2)求“不礼让斑马线”的驾驶员人数关于月份
之间的线性回归方程;
(3)若从4,5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人,再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查,求抽取的2人分别来自两个月份的概率;
参考公式:线性回归方程,其中
,
,
.