Question

【题目】平面四边形中， , 为等边三角形，现将沿翻折得到四面体，点分别为的中点.

（Ⅰ）求证：四边形为矩形；

（Ⅱ）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）

【解析】【试题分析】（1）先运用三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再借助等边三角形的性质及线面垂直的判定定理证明，进而证明，从而证明四边形为矩形；（2）先依据题设条件及面面垂直的性质定理证明平面，再建立空间直角坐标系，运用空间向量的数量积公式求出平面的一个法向量.进而求出直线与平面所成角的正弦值：

解：（Ⅰ）∵点分别为的中点，

∴且，

∴四边形为平行四边形.

取的中点，连结.

∵为等腰直角三角形， 为正三角形，

∴,

∴平面.

又∵平面，∴，

由且可得，

∴四边形为矩形.

（Ⅱ）由平面

分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

依题意，设，则，

∴.

设为平面的一个法向量，则有

令，则.

∴直线与平面所成角的正弦值

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