题目内容

设函数f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解:(1)当m=1时,f(x)=-x3+x2,f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1
令f′(x)=0,解得x=1-m,或x=1+m.
因为m>0,所以1+m>1-m.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,1-m)
1-m
(1-m,1+m)
1+m
(1+m,+∞)
f′(x)

0

0

f(x)
?
极小值

极大值

所以f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)内是减函数,在(1-m,1+m)内是增函数.
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