题目内容
【题目】正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，同一种生物体的身长、体重等指标.随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化.为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重.经整理分析后发现，鱼的重量x（单位：kg）近似服从正态分布
，如图所示，已知
.
（Ⅰ）若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在
内的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）从捕捞的100条鱼中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表.
重量范围（单位：kg） |
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|
|
条数 | 1 | 3 | 2 |
为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中体重在
内的条数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）若将选剩下的94条鱼称重做标记后立即放生.两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其中带有标记的有2条.为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在
内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在内的鱼的条数.
【答案】（Ⅰ）0.22；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，1.5；（ⅱ）47000，4136.
【解析】
（Ⅰ）根据正态分布曲线的对称性有
，可得出答案.
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出各种情况的概率，可得到其概率分布列，再由公式求出数学期望.
（ⅱ）设水库中共有N条鱼，根据题意有
，先求出N，又由（Ⅰ）可知
，从而可求出体重在
内的鱼的条数.
（Ⅰ）由正态分布的对称性可知，
.
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
，
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
数学期望
.
（ii）设水库中共有N条鱼，根据题意有
则
（条），
所以估计水库中有47000条鱼.
由（Ⅰ）可知，
则体重在内的鱼应捕捞
（条）
