题目内容
【题目】在三棱柱
中，侧面
为矩形， 
， 
， 
是
的中点， 
与
交于点
，且
平面
.
（Ⅰ）证明：平面
平面
；
（Ⅱ）若
， 
的重心为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ) 见解析; (Ⅱ) 
.
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先证明： 
平面
，然后利用面面垂直的判断定理即可证明平面
平面
(2)利用题中结合体的结构特征，以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系
．利用平面的法向量和直线的方向向量求得
.
试题解析：
(Ⅰ) 
为矩形， 
， 
， 
是
的中点，
， 
， 
， 
从而
， 
，
， 
，
，
，从而
平面
， 
平面
，
，
， 
平面
，
平面
，
平面
平面
(Ⅱ) 
如图，以
为坐标原点，
分别以
所在直线为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
．
在矩形
中，由于
，所以
和
相似，
从而
又
， 
， 
， 
， 
， 
, 
为
的重心， 
设平面
的法向量为
，
，
由
可得
，
令
，则
， 
，所以
.
设直线
与平面
所成角
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
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