题目内容
【题目】如图,设椭圆中心在原点,焦点在轴上,为椭圆长轴的两个端点,为椭圆的右焦点.已知椭圆的离心率为,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设是椭圆上位于轴上方的一个动点,直线,分别与直线相交于点,,求的最小值.
【答案】(1).(2)
【解析】
(1)利用离心率、和椭圆的关系可构造方程组求得的值,进而得到椭圆方程;
(2)设,代入椭圆方程可化简整理得到,由此可假设两直线方程,求得坐标,进而得到,利用基本不等式可求得最小值.
(1)设椭圆的长半轴长为,短半轴长为,半焦距为.
,则,即,,则.
,,即,.
椭圆的标准方程是.
(2)由题意得:点,点,
设点,则,即.
,即,.
设直线的方程为,则直线的方程为.
分别联立得:点,点.
(当且仅当,即时取等号),
的最小值为.
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