题目内容

【题目】已知函数f( )=﹣ x3+ x2﹣m,g(x)=﹣ x3+mx2+(a+1)x+2xcosx﹣m.
(1)若曲线y=f(x)仅在两个不同的点A(x1 , f(x1)),B(x1 , f(x2))处的切线都经过点(2,t),求证:t=3m﹣8,或t=﹣ m3+ m2﹣m.
(2)当x∈[0,1]时,若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围.

【答案】
(1)解:证明:由f( )=﹣ x3+ x2﹣m,可得f(x)=﹣x3+mx2﹣m,

f′(x)=﹣3x2+2mx,可得A处的切线方程:y﹣(﹣x13+mx12﹣m)=(﹣3x12+2mx)(x﹣x1),

同理可得B处的切线方程:y﹣(﹣x23+mx22﹣m)=(﹣3x22+2mx)(x﹣x2),

代入点(2,t),可得x1,x2为方程t﹣(﹣x3+mx2﹣m)=(﹣3x2+2mx)(2﹣x)的两个不等实根,

化简整理可得,2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m﹣t=0,

令g(x)=2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m﹣t,g′(x)=6x2﹣2(m+6)x+4m=2(3x﹣m)(x﹣2),

由g′(x)=0,可得x=2或x=

g(2)=3m﹣8﹣t,g( )=﹣ m3+ m2﹣m﹣t,

由题意可得g(x)必有一个极值为0,则t=3m﹣8,或t=﹣ m3+ m2﹣m


(2)解:当x∈[0,1]时,若f(x)≥g(x)恒成立,

即为﹣x3+mx2﹣m≥﹣ x3+mx2+(a+1)x+2xcosx﹣m,

即有 x3+(a+1)x+2xcosx≤0,

当x=0时,上式显然成立;

当0<x≤1时,即有﹣a﹣1≥ x2+2cosx恒成立,

令m(x)= x2+2cosx,m′(x)=x﹣2sinx,m′′(x)=1﹣2cosx,

由0<x≤1时,1<2cos1≤2cosx<2,则1﹣2cosx<0,

y=x﹣2sinx在(0,1]递减,可得x﹣2sinx<0,

则m(x)在(0,1]递减,可得m(x)<m(0)=2,

则﹣a﹣1≥2,解得a≤﹣3.

a的取值范围是(﹣∞,﹣3]


【解析】(1)求出f(x)的导数,可得A,B处的切线方程,代入点(2,t),可得x1 , x2为方程t﹣(﹣x3+mx2﹣m)=(﹣3x2+2mx)(2﹣x)的两个不等实根,化简整理可得,2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m﹣t=0,令g(x)=2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m﹣t,求出导数,由题意可得g(x)必有一个极值为0,计算即可得到证明;(2)由题意可得﹣x3+mx2﹣m≥﹣ x3+mx2+(a+1)x+2xcosx﹣m,即有 x3+(a+1)x+2xcosx≤0,讨论x=0,显然成立;当0<x≤1时,运用参数分离和构造函数法,求出导数,判断单调性,求出最值,即可得到所求a的范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值).

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